Exercices types : noyau et image

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Contenu du cours

Exercice 1

Soit $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ telle que $f(x,y,z)=(x+y+z,x-z)$.

1. Déterminer le noyau et l'image de $f$.

2. $f$ est-elle injective ?

3. $f$ est-elle surjective ?

4. Conclure.

Exercice 2

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergentes.

Soit l'application $\varphi$ qui à une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ associe la suite $(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $v_n=u_{n+1}$.

1. Vérifier que $\varphi$ est linéaire.

2. Déterminer le noyau et l'image de $\varphi$.

$\varphi$ est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Exercice 3

Soit l'application linéaire $f:\mathbb{R}_2[X]\to \mathbb{R}_2[X]$ telle que $f(P)=XP'-P$. Trouver une base du noyau de $f$ .